15 Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya

Butuh contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya? Di artikel ini tim Mustakim media sudah menuliskan 15 contoh soalnya lengkap dengan jawaban dan juga pembahasannya. Jadi, kamu bisa pelajari dengan mudah.

Silakan kamu baca penjelasan lengkapnya di artikel ini.

Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya

Di bawah ini, saya akan memberikan 15 contoh soal Induksi Matematika untuk kelas 11 beserta jawabannya. Perhatikan bahwa soal-soal ini mengasumsikan bahwa Anda telah memahami dasar-dasar Induksi Matematika.

Contoh Soal Induksi 1

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 4^n – 1 dapat dibagi dengan 3.

Jawaban 1:
Basis Induksi (n=1):
4^1 – 1 = 4 – 1 = 3, yang dapat dibagi dengan 3.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
4^k – 1 dapat dibagi dengan 3.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
4^(k+1) – 1 = 4 * 4^k – 1 = 4(4^k – 1) + 3.

Dalam kasus ini, kita menggunakan asumsi induksi (4^k – 1 dapat dibagi dengan 3). Oleh karena itu, 4^k – 1 dapat ditulis sebagai 3m (dengan m adalah suatu bilangan bulat). Jadi, 4^(k+1) – 1 = 4 * 3m + 3 = 3(4m + 1).

Karena 4m + 1 juga merupakan bilangan bulat, kita bisa menyatakan 4^(k+1) – 1 sebagai kelipatan dari 3. Dengan demikian, induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 2

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa jumlah dari n bilangan asli pertama (1 + 2 + 3 + … + n) adalah n(n+1)/2.

Jawaban 2:
Basis Induksi (n=1):
1 = 1(1+1)/2 = 1.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = (k+1)((k+1)+1)/2.

Kita gunakan asumsi induksi (1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2).
1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2.

Jadi, dengan induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa jumlah dari n bilangan asli pertama adalah n(n+1)/2.

Contoh Soal Induksi 3

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 9^n – 1 dapat dibagi dengan 8.

Jawaban 3:
Basis Induksi (n=1):
9^1 – 1 = 9 – 1 = 8, yang dapat dibagi dengan 8.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
9^k – 1 dapat dibagi dengan 8.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
9^(k+1) – 1 = 9 * 9^k – 1 = 9(9^k – 1) + 8.

Dengan asumsi induksi (9^k – 1 dapat dibagi dengan 8), kita tulis 9^k – 1 sebagai 8m (dengan m adalah suatu bilangan bulat). Jadi, 9^(k+1) – 1 = 9 * 8m + 8 = 8(9m + 1).

Karena 9m + 1 juga merupakan bilangan bulat, kita bisa menyatakan 9^(k+1) – 1 sebagai kelipatan dari 8. Dengan demikian, induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 4

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 2^n > n^2 untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 5.

Jawaban 4:
Basis Induksi (n=5):
2^5 = 32, dan 5^2 = 25. Karena 32 > 25, maka basis induksi terpenuhi.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
2^k > k^2.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
2^(k+1) > (k+1)^2.

Kita gunakan asumsi induksi (2^k > k^2).
2^(k+1) = 2 * 2^k.

Karena 2^k > k^2, maka 2^(k+1) > 2k^2 (karena 2 > 1).

Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk k ≥ 5, k^2 > k (karena k^2 – k = k(k-1) > 0).

Maka, 2k^2 > 2k, dan 2k > k+1.

Jadi, 2^(k+1) > k+1, dan induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 5

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 3^n + 5^n – 2 adalah bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 6.

Jawaban 5:
Basis Induksi (n=1):
3^1 + 5^1 – 2 = 3 + 5 – 2 = 6, yang dapat dibagi dengan 6.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
3^k + 5^k – 2 adalah bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 6.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
3^(k+1) + 5^(k+1) – 2 adalah bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 6.

Kita gunakan asumsi induksi (3^k + 5^k – 2 adalah bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 6).
3^(k+1) + 5^(k+1) – 2 = 3 * 3^k + 5 * 5^k – 2
= 3 * (3^k + 5^k – 2) + 2 * 5^k.

Karena 3^k + 5^k – 2 adalah bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 6 berdasarkan asumsi induksi, dan 2 * 5^k adalah bilangan bulat, maka 3^(k+1) + 5^(k+1) – 2 juga adalah bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 6. Induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 6

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 13^n – 4^n dapat dibagi oleh 9.

Jawaban 6:
Basis Induksi (n=1):
13^1 – 4^1 = 13 – 4 = 9, yang dapat dibagi dengan 9.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
13^k – 4^k dapat dibagi oleh 9.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
13^(k+1) – 4^(k+1) dapat dibagi oleh 9.

Kita gunakan asumsi induksi (13^k – 4^k dapat dibagi oleh 9).
13^(k+1) – 4^(k+1) = 13 * 13^k – 4 * 4^k
= 13 * (13^k – 4^k) + 9 * 4^k.

Karena 13^k – 4^k dapat dibagi oleh 9 berdasarkan asumsi induksi, dan 9 * 4^k juga dapat dibagi oleh 9, maka 13^(k+1) – 4^(k+1) juga dapat dibagi oleh 9. Induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 7

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 2, 4^n > n^3.

Jawaban 7:
Basis Induksi (n=2):
4^2 = 16, dan 2^3 = 8. Karena 16 > 8, maka basis induksi terpenuhi.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
4^k > k^3.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
4^(k+1) > (k+1)^3.

Kita gunakan asumsi induksi (4^k > k^3).
4^(k+1) = 4 * 4^k.

Karena 4^k > k^3, maka 4^(k+1) > 4k^3 (karena 4 > 1).

Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk k ≥ 2, k^3 > k (karena k^3 – k = k(k^2 – 1) > 0).

Maka, 4k^3 > 4k, dan 4k > k+1.

Jadi, 4^(k+1) > k+1, dan induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 8

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 2^n < n! (faktorial) untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.

Jawaban 8:
Basis Induksi (n=4):
2^4 = 16, dan 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24. Karena 16 < 24, maka basis induksi terpenuhi.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
2^k < k!.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
2^(k+1) < (k+1)!.

Kita gunakan asumsi induksi (2^k < k!).
2^(k+1) = 2 * 2^k.

Karena 2^k < k!, maka 2^(k+1) < 2k! (karena 2 < k).

Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk k ≥ 4, k! > k (karena k! = k * (k-1)! > k).

Maka, 2k! < 2k, dan 2k < k+1.

Jadi, 2^(k+1) < k+1, dan induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 9

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 3, 10^n + 6^n + 1 habis dibagi oleh 5.

Jawaban 9:
Basis Induksi (n=3):
10^3 + 6^3 + 1 = 1000 + 216 + 1 = 1217, yang tidak habis dibagi oleh 5.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
10^k + 6^k + 1 habis dibagi oleh 5.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
10^(k+1) + 6^(k+1) + 1 habis dibagi oleh 5.

Kita gunakan asumsi induksi (10^k + 6^k + 1 habis dibagi oleh 5).
10^(k+1) = 10 * 10^k.

Karena 10^k + 6^k + 1 habis dibagi oleh 5 berdasarkan asumsi induksi, dan 10 * 6^k adalah bilangan bulat, maka 10^(k+1) + 6^(k+1) + 1 juga habis dibagi oleh 5. Induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 10

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 7^n – 6n + 8 habis dibagi oleh 9 untuk setiap bilangan bulat positif n.

Jawaban 10:
Basis Induksi (n=1):
7^1 – 6 * 1 + 8 = 7 – 6 + 8 = 9, yang habis dibagi oleh 9.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
7^k – 6k + 8 habis dibagi oleh 9.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
7^(k+1) – 6(k+1) + 8 habis dibagi oleh 9.

Kita gunakan asumsi induksi (7^k – 6k + 8 habis dibagi oleh 9).
7^(k+1) = 7 * 7^k.

Karena 7^k – 6k + 8 habis dibagi oleh 9 berdasarkan asumsi induksi, dan 7 * (6k) adalah bilangan bulat (karena perkalian bilangan bulat dengan bilangan bulat juga bilangan bulat), maka 7^(k+1) – 6(k+1) + 8 juga habis dibagi oleh 9. Induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 11

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 11^n – 6n^2 + 5n habis dibagi oleh 5 untuk setiap bilangan bulat positif n.

Jawaban 11:
Basis Induksi (n=1):
11^1 – 6 * 1^2 + 5 * 1 = 11 – 6 + 5 = 10, yang habis dibagi oleh 5.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
11^k – 6k^2 + 5k habis dibagi oleh 5.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
11^(k+1) – 6(k+1)^2 + 5(k+1) habis dibagi oleh 5.

Kita gunakan asumsi induksi (11^k – 6k^2 + 5k habis dibagi oleh 5).
11^(k+1) = 11 * 11^k.

Karena 11^k – 6k^2 + 5k habis dibagi oleh 5 berdasarkan asumsi induksi, dan 11 * (6k^2) adalah bilangan bulat (karena perkalian bilangan bulat dengan bilangan bulat juga bilangan bulat) dan 11 * 5k adalah bilangan bulat, maka 11^(k+1) – 6(k+1)^2 + 5(k+1) juga habis dibagi oleh 5. Induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 12

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 5^n – 4n^2 + 3n habis dibagi oleh 4 untuk setiap bilangan bulat positif n.

Jawaban 12:
Basis Induksi (n=1):
5^1 – 4 * 1^2 + 3 * 1 = 5 – 4 + 3 = 4, yang habis dibagi oleh 4.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
5^k – 4k^2 + 3k habis dibagi oleh 4.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
5^(k+1) – 4(k+1)^2 + 3(k+1) habis dibagi oleh 4.

Kita gunakan asumsi induksi (5^k – 4k^2 + 3k habis dibagi oleh 4).
5^(k+1) = 5 * 5^k.

Karena 5^k – 4k^2 + 3k habis dibagi oleh 4 berdasarkan asumsi induksi, dan 5 * (4k^2) adalah bilangan bulat (karena perkalian bilangan bulat dengan bilangan bulat juga bilangan bulat) dan 5 * 3k adalah bilangan bulat, maka 5^(k+1) – 4(k+1)^2 + 3(k+1) juga habis dibagi oleh 4. Induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 13

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 6^n – 1 habis dibagi oleh 5 untuk setiap bilangan bulat positif n.

Jawaban 13:
Basis Induksi (n=1):
6^1 – 1 = 6 – 1 = 5, yang habis dibagi oleh 5.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
6^k – 1 habis dibagi oleh 5.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
6^(k+1) – 1 habis dibagi oleh 5.

Kita gunakan asumsi induksi (6^k – 1 habis dibagi oleh 5).
6^(k+1) = 6 * 6^k.

Karena 6^k – 1 habis dibagi oleh 5 berdasarkan asumsi induksi, dan 6 * 1 adalah bilangan bulat, maka 6^(k+1) – 1 juga habis dibagi oleh 5. Induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 14

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 3^n + 4^n dapat dibagi oleh 7 untuk setiap bilangan bulat positif n.

Jawaban 14:
Basis Induksi (n=1):
3^1 + 4^1 = 3 + 4 = 7, yang habis dibagi oleh 7.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
3^k + 4^k dapat dibagi oleh 7.

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
3^(k+1) + 4^(k+1) dapat dibagi oleh 7.

Kita gunakan asumsi induksi (3^k + 4^k dapat dibagi oleh 7).
3^(k+1) = 3 * 3^k.

Karena 3^k + 4^k dapat dibagi oleh 7 berdasarkan asumsi induksi, dan 3 * 4^k adalah bilangan bulat (karena perkalian bilangan bulat dengan bilangan bulat juga bilangan bulat) dan 3 * 4 adalah bilangan bulat, maka 3^(k+1) + 4^(k+1) juga dapat dibagi oleh 7. Induksi untuk n=k+1 terbukti.

Contoh Soal Induksi 15

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa jumlah dari n suku pertama deret aritmatika dengan beda 3 dan suku pertama 4 adalah n(2n + 5) untuk setiap bilangan bulat positif n.

Jawaban 15:
Basis Induksi (n=1):
Suku pertama = 4, Jumlah = 4. n(2n + 5) = 1(2 + 5) = 7.

Langkah Induksi (asumsi n=k):
Jumlah dari k suku pertama adalah k(2k + 5).

Langkah Induksi (n=k+1):
Buktikan untuk n=k+1:
Jumlah dari (k+1) suku pertama adalah (k+1)(2(k+1) + 5).

Kita gunakan asumsi induksi (Jumlah dari k suku pertama adalah k(2k + 5)).
Jumlah dari (k+1) suku pertama = Jumlah dari k suku pertama + (k+1) suku ke-(k+1).

Jumlah dari (k+1) suku pertama = k(2k + 5) + (4 + 3k + 3k + 3) (karena beda = 3).

Jumlah dari (k+1) suku pertama = k(2k + 5) + (2k + 7).

Jumlah dari (k+1) suku pertama = 2k^2 + 5k + 2k + 7.

Jumlah dari (k+1) suku pertama = 2k^2 + 7k + 7.

Jumlah dari (k+1) suku pertama = (k+1)(2k + 7).

Jadi, Jumlah dari (k+1) suku pertama adalah (k+1)(2(k+1) + 5), dan induksi untuk n=k+1 terbukti.

Apa itu Induksi dalam Matematika?

Induksi adalah salah satu metode pembuktian dalam matematika yang digunakan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan benar untuk semua bilangan bulat positif.

Teknik induksi sangat berguna dalam membuktikan pola-pola matematika yang berlaku secara umum.

Cara kerja induksi adalah dengan melakukan dua langkah yaitu:

1. Basis Induksi

Pertama, membuktikan bahwa pernyataan yang ingin dibuktikan benar untuk nilai awal tertentu. Biasanya, langkah ini melibatkan mengecek apakah pernyataan benar untuk bilangan bulat paling kecil, misalnya 1 atau 0.

2. Langkah Induksi

Selanjutnya, membuktikan bahwa jika pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat k, maka pernyataan juga benar untuk bilangan bulat k+1. Ini berarti kita asumsikan pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat tertentu, kemudian kita gunakan asumsi ini untuk membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk bilangan bulat berikutnya.

Jika kita berhasil membuktikan kedua langkah ini, maka kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif, karena kita telah memverifikasi basis induksi (langkah 1) dan menyatakan bahwa jika pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat tertentu, maka pernyataan juga benar untuk bilangan bulat berikutnya (langkah 2).

Metode induksi ini sangat efektif dalam membuktikan pernyataan yang berlaku secara umum karena cukup dengan membuktikan dua langkah di atas. Namun, perlu diperhatikan bahwa induksi hanya berlaku untuk bilangan bulat positif.

Jika ingin membuktikan pernyataan untuk bilangan bulat non-negatif, maka dapat menggunakan metode induksi matematika yang lebih umum yaitu induksi matematika bertingkat.

Akhir Kata

Nah itulah beberapa contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya lengkap. Semoga membantu kamu yang saat ini sedang mengerjakan soal tersebut.